Chapitre 8 - Probabilités

  • Construire un arbre correspondant à une situation donnée.
  • Construire un tableau correspondant à une situation donnée.
  • Déterminer l’ensemble des issues possibles.
  • Déterminer l’ensemble des issues correspondant à un événement.
  • Calculer la probabilité d’un événement dans une situation d’équiprobabilité.
  • Connaitre et utiliser les notations de réunion et d'intersection.
  • Décrire et déterminer la probabilité de la réunion de deux évènements.
  • Décrire et déterminer la probabilité d'un évènement contraire.

IVocabulaire : Evenements aléatoires, issues

Une expérience aléatoire est une expérience comportant plusieurs issues possibles et imprévisibles.
"Tirer un nombre au hasard avec un dé à 6 faces" est une expérience aléatoire.
Une issue d'une expérience aléatoire est un des résultats possibles .
6 est une issue possible de notre expérience (c'est à dire "faire 6").
L'ensemble des issues possibles est l'ensemble qui contient toutes les issues de l'expérience. On l'appelle aussi l'univers.
On note l'univers par la lettre \(\Omega\), et se note entre accolades $$\{\text{"issues possibles"}\}$$
L'ensemble des issues possible de notre expérience est : $$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$$ Toutes les issues sont dans l'ensemble \(\Omega\) et aucune autre éventualité.
L'univers dépend de l'expérience aléatoire. L'expérience "tirer un dé à 8 face" aura comme univers \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)
Dans notre expérience, un évènement comme "faire un nombre pair" ou encore "faire plus que 4", seront notés mathématiquement comme un ensemble d'issues
  • L'évènement "faire un nombre pair" n'a que 3 issues possibles et correspond au sous-ensemble \(\{2,4,6\}\)
  • L'évènement "faire plus que 4" n'a que 2 issues possibles et correspond au sous-ensemble \(\{5,6\}\)
  • Un évènement A est une partie ou un sous-ensemble de l'ensemble des issues possibles \(\Omega\)
  • Un évènement qui ne contient qu'une issue est appelé un évènement élémentaire
Une évènement exprimé mathématiquement s'exprime d'une unique manière, alors qu'il est possible de l'exprimer correctement sous la forme de plusieurs phrases. Par exemple, l'évènement \(\{2,3,4,5\}\) peut très bien se décrire comme :
  • "faire tout sauf 1 et 6"
  • "faire entre 1 et 5"
  • "faire 2 ou 3 ou 4 ou 5"
  • etc.
  • \(\Omega\) est un évènement il correspond à "tout peut arriver"
  • \(\emptyset\) est l'évènement sans aucune issue, et donc impossible
Dans notre expérience, "faire plus que 6" ou encore "faire moins que 1" sera noté \(\emptyset\)

IICalcul de probabilités

Dans une expérience aléatoire, soit \(\Omega\) l'univers et \(e_1, e_2..., e_n\) ses évènements élémentaires : $$\Omega = \{e_1, e_2, ..., e_n\}$$ La loi de probabilité suivie par cette expérience se résume en un tableau où l'on associe à chaque évènement \(e_i\) un nombre plus petit que 1 qui est sa probabilité \(p_i\) : $$ \begin{array}{ |c|c|c|c|c|} \hline \text{Issue } e_i & e_1 & e_2 & ... & e_n \\ \hline \text{Probabilité } p_i & p_1 & p_2 & ... & p_n \\ \hline \end{array} $$ La somme de ces probabilités vaut toujours 1.
La loi de probabilité de l'expérience "tirer un dé à 6 faces" est : $$ \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Issue } e_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Probabilité } p_i & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array} $$ La somme des probabilités vaut bien 1 : \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1\)
Dans un sac, on place 6 boules : 1 rouge, 2 vertes et 3 bleus. Les évènements élémentaire sont :
  • \(R\) : "tirer un boule rouge"
  • \(V\) : "tirer un boule verte"
  • \(B\) : "tirer un boule bleue"
La loi de probabilité est donc : $$ \begin{array}{ |c|c|c|c|} \hline \text{Issue } e_i & R & V & B \\ \hline \text{Probabilité } p_i & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} = \frac{1}{3} & \frac{3}{6}=\frac{1}{2} \\ \hline \end{array} $$ La somme des probabilités vaut bien 1 : \(\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1\)
  • La probabilité de l 'évènement certain \(\Omega\) vaut 1 : \(p (\Omega) = 1\)
  • La probabilité de l 'évènement impossible \(\emptyset\) vaut 0 : \(p (\emptyset) = 0\)
Les probababilités servent à prédire raisonnablement l'avenir dans une expérience aléatoire donnée :

On considère un évènement \(E\) dans une expérience aléatoire donnée.

Si l'on répète \(N\) fois l'expérience aléatoire, l'évènement \(E\) se produira "environ" \(p (E) \times N\) fois.

L'approximation sera d'autant plus précise si le nombre de répétitions \(N\) est grand

En reprenant l'exemple de l'expérience "jouer à pile ou face". La probabilité que l'évènement "pile" se produise est \(\frac{1}{2}\).

Si l'on joue \(N=1000\) fois, on obtiendra environ \(p (pile) \times N = \frac{1}{2}\times 1000 = 500 fois pile\)

En reprenant l'exemple de l'expérience des boules de couleur (1 rouge, 2 vertes, 3 bleues). La probabilité que l'évènement "tirer une boule verte" se produise est \(\frac{1}{3}\).

Si l'on joue \(N=1200\) fois, on obtiendra environ \(p (V) \times N = \frac{1}{3}\times 1200 = 400 fois une boule verte\)

Quand toutes les probabilités des évènements élémentaires sont les mêmes, c'est une situation d'équiprobabilité.
  • "tirer un dé équilibré" est une situation d'équiprobabilité
  • "tirer un dé pipé" n'est pas une situation d'équiprobabilité
On considère une expérience en situation d'équiprobabilité. \(\Omega\) est son univers et \(A\) un évènement : $$ p (A) = \frac{\text{nombre d'issues de }A}{\text{nombre total d'issues dans }\Omega} $$

Tirer une carte dans un paquet de 32 cartes est une situation d'équiprobabilité. On note \(A\) l'évènement "tirer un as"

L'univers \Omega comprend 32 issues et il y a 4 as : \(A = \{A♥,A♦,A♣,A♠\}\)

Donc \(p (A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\). Il y a une chance sur 8 de tirer un as.

IIIRéunion, intersection et évènement contraire

1Généralités

  • L'événement \(A \cup B\) est constitué des issues qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.
  • L'événement \(A \cap B\) est constitué des issues qui appartiennent à la fois à A et à B.
  • L'évènement \(\bar{A}\) est constitué des issues qui ne sont pas des issues de A
  • \(A \cup B\) se lit « \(A\) union \(B\) » ou « \(A\) ou \(B\) »
  • \(A \cap B\) se lit « \(A\) inter \(B\) » ou « \(A\) et \(B\) »
  • \(\bar{A}\) se lit « \(A\) barre » ou « le contraire de \(A\) »
Dans l'expérience "tirer un dé à 6 faces", on note considère les évènement :
  • \(A\) "obtenir un nombre pair" : \(A = \{2,4,6\}\)
  • \(B\) "obtenir moins que 4" \(B = \{1,2,3\}\)
Il est possible d'obtenir un des deux évènements, les deux à la fois ou aucun des deux :
  • \(A\cup B\) "obtenir un nombre pair ou un nombre plus petit que 4" : $$A\cup B = \{1,2,3,4,6\}$$
  • \(A\cap B\) "obtenir à la fois un nombre pair et plus petit que 4" : $$A\cap B = \{2\}$$
  • \(\bar{A}\) "obtenir un nombre impair" : $$\bar{A} = \{1,3,5\}$$

2Calculs

Deux évènement \(A\) et \(B\) sont incompatibles quand \(A\cap B = \emptyset\).
Concrètement, deux évènement incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps.

Les évènement "faire un nombre pair" et "faire un nombre impair" sont incompatibles.

L'intersection entre \(\{2,4,6\}\) et \(\{1,3,5\}\) est vide : \(A\cap B = \emptyset\).
Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles : $$p (A \cup B) = p (A) + p (B)$$
Pour tous évènements \(A\) et \(B\) (incompatibles ou pas) : $$p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B)$$

On reprend l'exemple de la partie précédente III-1 où \(A\) est "obtenir un nombre pair" et \(B\) est "faire moins que 4".

On a \(p (A) = \frac{1}{2}\), \(p (B) = \frac{1}{2}\) et comme \(A \cap B = \{2\}\) contient un seul élément \(p (A \cap B) = \frac{1}{6}\).

Si on applique la formule : $$p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

On vérifie facilement que c'est vrai car on a vu que \(A \cup B\) contenait 5 issues.
Soit \(A\) un évènement quelconque et \(\bar{A}\) sont évènement contraire. Alors : $$p (\bar{A}) = 1 - p (A)$$
On reprend les mêmes exemples :
  • \(\bar{A}\) "otenir un nombre impair" a pour probabilité : \(p (\bar{A}) = 1 - p (A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
  • \(\bar{B}\) "otenir un nombre plus grand que 3" a pour probabilité : \(p (\bar{B}) = 1 - p (B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

IVArbres et tableaux

1Tableaux

Une expérience avec 2 évènements A et B peut être représentée par un tableau dont les lignes représentent A et son contraire, et les colonnes représentent B et son contraire :
Dans une classe de 25 élèves, 11 élèves pratiquent le ski, 7 pratiquent le surf. 2 élèves pratiquent les 2 sports. $$ \begin{array}{ |c|c|c|c|} \hline &\text{surf}&\text{pas surf}&\text{total}\\ \hline \text{ski} & 2 & 9 & 11 \\ \hline \text{pas de ski} & 5 & 11 & 14 \\ \hline \text{total} & 7 & 20 & 25 \\ \hline \end{array} $$ En choisissant un élève au hasard, il y a une probabilité de \frac{11}{25} qu'il ne pratique aucun de ces sports.

2Arbre de Probabilités

Une expérience avec des évènements indépendants successifs peut être représentée par un arbre pondéré :
On tire deux fois un dé à 6 faces. Les probabilités des deux jets se multiplient ;
  • La probabilité de faire 6 puis encore 6, noté (6;6) vaut donc \(\frac{1}{36}\)
  • L'évènement « Faire une seule fois 6 » est composé des deux évènements indépendants (6 ; pas 6) et (pas 6 ; 6) qui s'ajoutent : \(\frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36}\)